【蜗牛棋牌】一个德州扑克概率计算上的盲点

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摘要

手持KK,翻牌中暗三(含四条以及K66这样的葫芦)的概率多大?任意翻牌有C(50,3) 种。翻牌只要有一个K就满足要求,先C(2,1)把这个K从剩余两个里挑出来,剩下两张翻牌就可以随意了。除去3个K,还有49张供选择。满足条件的翻牌一共有C(2,1) *C(49,2)种。所以,所要求的概率是:

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手持KK,翻牌中暗三(含四条以及K66这样的葫芦)的概率多大?

【蜗牛棋牌】一个德州扑克概率计算上的盲点

任意翻牌有C(50,3) 种。翻牌只要有一个K就满足要求,先C(2,1)把这个K从剩余两个里挑出来,剩下两张翻牌就可以随意了。除去3个K,还有49张供选择。满足条件的翻牌一共有C(2,1) *C(49,2)种。所以,所要求的概率是:

C(2,1) * C(49,2) / C(50,3) = 12.0%

这计算对吗?

再来看一个计算。翻牌是882,我手里是AA,对手有8就比我大。他有8的概率是多大?

任意底牌有C(50,2)种。他既可以有一个8,也可以有两张8。先从剩下两张8中挑出一个给他,C(2,1)。他的第二张牌可以随便,C(49,1)。所以要求的概率是:

C(2,1) * C(49,1) / C(50,2) = 8.0%

再判断上述计算正误之前,再看看这个计算:我手里是A♥K♥,问翻牌出同花听牌(含翻牌直接同花)的概率多大?

任意翻牌有C(50,3) 种。翻牌只要有两张♥就满足要求,可以先从剩余的11张里面挑出来 C(11,2)。剩下一张随便,是不是♥都可以,可从剩下的48张挑 C(48,1)。所以要求的概率就是:

C(11,2) * C(48,1) / C(50,3) = 13.5%

以上三个计算全部都错了,而且三个犯的都是一样的错误:重复计算。

在第一个计算里面,不妨设我们拿的是两张红色的K。按照上述算法,黑桃K先被挑出来,然后剩下的随意,这算一部分;梅花K先被挑出来,剩下的随意,这算另一部分。然而,诸如KK4这样的翻牌,黑桃红桃两个K都翻出来,就被同时算到了两个阵营里,计算了两次。要想纠正这个错误,可有两种办法:

第一种是直接排除法。计算有两个K算了两次,那么我再减掉一次即可。翻牌有两个K的组合数是C(2,2) * C(48,1)。所以整个公式应该是:

【C(2,1) * C(49,2) -C(2,2) * C(48,1) 】/ C(50,3) = 11.8%

第二种是分开计算法。我们可以先计算翻牌只有一个K的组合,是C(2,1) * C(48,2) 种;再计算翻牌有两个K的组合,是C(2,2) * C(48,1) 种。这两种组合既无遗漏也无重复得涵盖了所有带K的翻牌。

【C(2,1) * C(48,2) +C(2,2) * C(48,1) 】/ C(50,3) = 11.8%

两种方法的计算结果完全一致,他们是等价的。

同样的方法可以用来计算第二道题。翻牌882,我们手里没有8,问对手有8的概率。同样,对手恰好是88的时候,会被上述计算重复计入了。可以使用排除法,减去88的那一种组合:

【C(2,1) * C(49,1) -C(2,2)】/ C(50,2) = 7.9%

也可以使用分开计算法。对手有且仅有一张8时,有C(2,1) * C(48,1)种组合;是一对8时,有C(2,2)种组合:

【C(2,1) * C(48,1) +C(2,2) 】/ C(50,2) = 7.9%

第三道题关于翻牌出同花听牌或者同花成牌的情况,有兴趣的读者不妨亲自计算,并把计算结果贴在留言里。

这类重复计算的错误,其思路很符合常识,所以很多人都会不自觉的犯下。又因为此错误带来的结果误差很小,因此还很难发现。

生活中这样的例子也很常见,比如江南省有100个干部,其中30个本地干部,70个外地干部。现要选拔12人做省委委员,要求至少5个本地干部。那么,如果我们在30个干部里面先选5个,剩下的随便挑,就会犯这种重复计算的问题。

每当我们涉及到类似“先选一个,剩下的随便挑”,或者“至少xx个”的时候,要注意先选的这一个是否还有可能出现在“随便挑”的范围内。如果可能,那就要警惕是否存在重复计算的问题。

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